z=f(xy,y)的二阶偏导数其实有四个，它是建立在一阶偏导数的基础上的。一阶偏导数有两个，分别是关于x的偏导数和关于y的偏导数。而一阶偏导数又都有关于x和关于y的偏导数，两个一阶偏导数就形成了z=f(xy,y)的四个二阶偏导数。
因此，我们要先求z=f(xy,y)的两个一阶偏导数z'(x)和z'(y). z有两个变量，第一个变量是本身也是一个函数，所以我们可以引入中间变量u=xy, 则u'(x)=y, u'(y)=x.
接下来利用复合函数的求导公式，就有z关于x的偏导数z'(x)=f1u'(x)+f2y'(x)=f1u'(x)=yf1. 其中 f1表示z关于xy的偏导数，f2表示z关于y的偏导数，注意，这个y表示的是关于x的函数y，即它在这里看作一个常数，而不是变量y，因此求y关于x的导数等于0，即y'(x)=0.
而z关于y的偏导数z'(y)=f1u'(y)+f2y'=xf1+f2. 这里的f1和f2与上面的f1和f2的意义是相同的.
有了这两个一阶偏导数，我们就可以求z的四个二阶偏导数了。先求z'(xx)=yf11u'(x)+yf12y'(x)=y^2f11. 这里的f11表示f1关于xy的偏导数，f12表示f1关于y的偏导数，同样的，这个y指的是函数y，而不是变量y，或者你可以认为它是一个中间变量。
再求z'(yy)=xf11u'(y)+xf12y'+f21u'(y)+f22y'=x^2f11+xf12+xf21+f22，其中f11,f12的意义同上。而f21,f22也有相似的内涵，想必不需要老黄再多费口舌了吧。
最后求z'(xy)和z'(yx)，当z连续时，它们是相等的，但这里无法直接判断函数是否连续，因此我们两个都要求一求。
z'(xy)=f1+yf11u'(y)+yf12y'=f1+xyf11+yf12. 这里有积的导数公式的应用。其中的f1, f11, f12意义都同上，下面就不再累述了。
z'(yx)=f1+xf11u'(x)+xf12y'(x)+f21u'(x)+f22y'(x)=f1+xyf11+yf21. 很明显的，只有当f12=f21时，函数z=f(xy,y)才连续。
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